Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js

About

Thứ Ba, 5 tháng 8, 2014

\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})


Bài toán: 

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:
\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b}).

Lời giải:
BĐT \Leftrightarrow \sum \left [ \dfrac{(a+b)^2}{ab}-4 \right ]\geqslant \sum \dfrac{2a}{b+c}-3
  \Leftrightarrow \sum \dfrac{(a-b)^2}{ab}\geqslant \sum \dfrac{2a}{b+c}-3
Sử dụng khai triển \sum \dfrac{2a}{b+c}-3=\sum \dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}
Nên ta chỉ cần chứng minh 
             \sum \dfrac{(a-b)^2}{ab}\geqslant \sum \dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}
\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{(a+c)(b+c)} \right ]\geqslant 0
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi a=b=c>0

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét