$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$

Bài toán: 

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$$ .

Lời giải:

BĐT $\Leftrightarrow \sum \left [ \dfrac{(a+b)^2}{ab}-4 \right ]\geqslant \sum \dfrac{2a}{b+c}-3$

  $\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a-b)^2}{ab}\geqslant \sum \dfrac{2a}{b+c}-3$

Sử dụng khai triển $\sum \dfrac{2a}{b+c}-3=\sum \dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$

Nên ta chỉ cần chứng minh 

             $\sum \dfrac{(a-b)^2}{ab}\geqslant \sum \dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{(a+c)(b+c)} \right ]\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức khi $a=b=c>0$