$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$

Bài toán: 
Cho $a;b;c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$$


Lời giải: Đặt $x=a+1;y=b+1;c=z+1$

Đưa bài toán về:

Quote

Cho $x;y;z$ thỏa mãn $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$. Tìm Max $P=(x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$      $(=10)$

Bạn nào quen làm BĐT chắc đã biết bài này!

Vì $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên

• $\left(\dfrac{x}{y}-1\right)\left(\dfrac{y}{z}-1\right)\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\leq \dfrac{x}{z}+1$
• $\left(\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{z}{y}-1\right)\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}\leq \dfrac{z}{x}+1$

Vậy $P\leq 5+2\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)$

Mà $\left(\dfrac{x}{z}-1\right)\left(\dfrac{z}{x}-2\right)\geq 0\Leftrightarrow 3\geq \dfrac{2x}{z}+\dfrac{z}{x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\leq 3-\dfrac{x}{z}\leq 3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow P\leq 10$