$2011x^2 -2012y^2 +2013^2=0$

Bài toán:

Cmr: Pt sau có vô số nghiệm nguyên

$$2011x^2 -2012y^2 +2013^2=0$$

Lời giải:
$\Leftrightarrow 2012y^2-2011x^2=2013^2$  (1)

Xét phương trình $2012y^2-2011x^2=1$ (2)

Nhận thấy nếu phương trình (2) có nghiệm $(x_0,y_0)$ thì phương trình (1) có nghiệm $(2013x_0;2013y_0)$

Ta sẽ chứng minh phương trình (2) có vô số nghiệm nguyên

Bổ đề : Cho phương trình $ay^2-bx^2=1$ trong đó $a-b=1$ (3)

Nếu phương trình có nghiệm $(x_0;y_0)$ thì phương trình cũng có nghiệm $(x_1;y_1)$ với 

$\left\{\begin{matrix} x_1=(a+b)x_0+2ay_0 \\ y_1=2bx_0+(a+b)y_0 \end{matrix}\right.$

Thật vậy $ay_1^2-bx_1^2$
$=a[4b^2x_0^2+4b(a+b)x_0y_0+(a+b)^2y_0^2]-b[(a+b)^2x_0^2+4a(a+b)x_0y_0$
$+4a^2y_0^2]$
$=(a+b^2(ay_0^2-bx_0^2))-4ab(ay_0^2-bx_0^2)$
$=(a-b)^2=1$ (ĐPCM)

Áp dụng bổ đề ta thấy các cặp sau là nghiệm của phương trình (2)

$\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=4023x_n+4024y_n \\ y_{n+1}=4022x_n+4023y_n \end{matrix}\right.$ với $\left\{\begin{matrix} x_0=1 \\ y_0=1 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy các cặp số $(x_n;y_n)$ không trùng nhau nên phương trình (2) có vô số nghiệm . Do đó phương trình (1) có vô số nghiệm