$\left\{\begin{matrix}x+6\sqrt{xy}-y=6 & & \\ x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài toán: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x+6\sqrt{xy}-y=6 & & \\ x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 & & \end{matrix}\right.$$

Lời giải:

Ta có: $x>0;y>0$ (Dùng phản chứng)

$$PT1\Leftrightarrow 6=x+6\sqrt{xy}-y\leq x+3(x+y)-y=4x+2y$$

$$\Rightarrow 2x+y\geq 3~~(*)$$

Có:

$$x^2+xy+y^2\leq \dfrac{3(x^2+y^2)}{2}$$

$$\Rightarrow \dfrac{3(x^3+y^3)}{x^2+y^2+xy}\geq \dfrac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}$$

Ta sẽ chứng minh:

$$\dfrac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}$$

$$\Leftrightarrow x^6+y^6+4x^3y^3\geq 3x^4y^2+3x^2y^4~\textrm{(Bình phương)}~~(1)$$

Có: $$x^6+x^3y^3+x^3y^3\geq 3x^4y^2$$

Tương tự $\Rightarrow (1)$ đúng

Vậy $$\dfrac{3(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$$

Khi đó:

$$PT(2)\Leftrightarrow 3=x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+x+y=2x+y~~(**)$$

Từ $(*);(**)$

$\Rightarrow 2x+y=3$

$\Rightarrow x=y=1$