$P=\dfrac{a^3b^3}{(a+bc )(b+ca )(c+ab)^2}$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+1=c$. Tìm Max $$P=\dfrac{a^3b^3}{(a+bc )(b+ca )(c+ab)^2}$$


Lời giải:

Thay $c=a+b+1$ vào biến đổi ta được 

              $P=\dfrac{a^3b^3}{(a+b)^2(a+1)^3(b+1)^3}\leqslant \dfrac{a^2b^2}{4(a+1)^3(b+1)^3}$

Áp dụng AM-GM ta có 

             $a+1=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+1\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{4}}$

$\Rightarrow (a+1)^3\geqslant \dfrac{27a^2}{4}$

$\Rightarrow P\leqslant \dfrac{a^2b^2}{4.\dfrac{27a^2}{4}.\dfrac{27b^2}{4}}=\dfrac{4}{729}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=2, c=5$