Chuyên đề ĐA THỨC (phần III)

Diễn đàn toán học

CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC 

Trần Nam Dũng

Phần I: Xem tại đây

PHẦN II: Xem tại đây

Phần III : Đa thức bất khả quy

3.1. Đa thức với hệ số nguyên

Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng :

$$P(x)=a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n-1}+..+a_{1}x+a_{0}$$

trong đó $a_{i}$ là các hệ số nguyên 

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là $Z[x]$

Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên:

$(1)$ Nếu $P(x)$ có nghiệm nguyên $x=a$ thì phân tích được $P(x)=(x-a).Q(x)$ với $Q(x)$ là đa thức với hệ số nguyên .

$(2)$ Nếu $a,b$ nguyên và $a\neq b$ thì $P(a)-P(b)\vdots a-b$

$(3)$ Nếu $x=\frac{p}{q}$ là một nghiêm của $P(x)$ ( với $(p,q)=1$ ) thì $p$ là ước của $a_{0}$ và q là ước của $a_{n}$ . Đặc biệt nếu $a_{n}=\underline{+}1$ thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên

$(4)$ Nếu $x=m+\sqrt{n}$ là nghiệm của $P(x)$ với $m,n$ nguyên , $n$ không là số chính phương thì ${x}'=m-\sqrt{n}$ cũng là nghiệm của $P(x)$

$(5)$ Nếu $x=m+\sqrt{n}$ với $m,n$ nguyên , $n$ không là số chính phương thì $P(x)={M}'+{N}'\sqrt{n}$ với ${M}',{N}'$ nguyên 

Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều ngược lại không đúng, có những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nhưng các hệ số của nó không nguyên.

Ví dụ: Các đa thức $\frac{x^2-x}{2}$, $\frac{x^3-x}{6}$ nhận giá trị nguyên với mọi $x$ nguyên

Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi là đa thức nguyên.

Một đa thức với hệ số hữu tỷ $P(x)$ bất kỳ có thể biểu diễn được dưới dạng $\frac{a}{b}Q(x)$ với $a,b$ là các số nguyên và $Q(x)$ cũng là đa thức với hệ số nguyên 

3.2. Đa thức bất khả quy

Định nghĩa: Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi $P(x)$ là bất khả quy trên $Z[x]$ với bậc lớn hơn hay bằng 1
Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên $Q[x]$

Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Eisenstein)

Cho:

$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$

Nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho

i) $a_{n}$ không chia hết cho $p$

ii) $a_{0},a_{1},..,a_{n-1}$ chia hết cho $p$

iii) $a_{0}$ không chia hết cho $p^2$

thì đa thức $P(x)$ bất khả quy 

Định lý 3.2 (Quan hệ bất khả quy trên $Z[x]$ và $Q[x]$)

Nếu đa thức $P(x)$ $\epsilon$ $Z[x]$ bất khả quy trên $Z[x]$ thì cũng bất khả quy trên $Q[x]$.

Bổ đề Gauss. Ta gọi đa thức $P(x)$ $\epsilon$ $Z[x]$ là nguyên bản nếu các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau.

Ta có bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là nguyên bản.

Chứng minh bổ đề. Cho hai đa thức nguyên bản:

$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$

$$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}$$

thì 

$$P(x).Q(x)=c_{m+n}x^{m+n}+c_{m+n-1}x^{m+n-1}+...+c_{1}x+c_{0}$$

Giả sử tích trên không nguyên bản thì tồn tại một số nguyên tố $p$ là ước chung của các hệ số $c_{0},c_{1},...,c_{m+n}$. Vì $P(x)$ nguyên bản nên gọi $i$ là số nhỏ nhất mà $a_{i}$ không chia hết cho $p$ và $j$ là số nhỏ nhất sao cho $bj$ không chia hết cho $p$. Khi đó xét $x_{i+j}$ ta thấy hệ số tương ứng không chia hết cho $p$, vô lý . 

Vậy tích trên nguyên bản

Chứng minh định lý: Cho $P(x)$ bất khả quy trên $Z[x]$.Giả sử $P(x)$ khả quy trên $Q[x]$: $P(x)$$=P_{1}(x).P_{2}(x)$ 

với $P_{1},P_{2}$ là đa thức bậc nhỏ hơn bậc của P và có hệ số hữu tỷ . 

Đặt :

$$P_{1}(x)=\frac{a_{1}}{b_{1}}Q_{1}(x),P_{2}(x)=\frac{a_{2}}{b_{2}}Q_{2}(x)$$

với $(a_{i},b_{i})=1$ và $Q_{i}$ nguyên bản $(i_{1}=1,2)$

Khi đó :

$$P(x)=\frac{a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}Q_{1}(x)Q_{2}(x)=\frac{p}{q}Q_{1}(x)Q_{2}(x)$$

với $(p,q)=1$

Do $P(x)\epsilon Z[x]$ nên từ đây suy ra các hệ số của $Q_{1}(x),Q_{2}(x)$ đều chia hết cho $q$, suy ra  $Q_{1}(x),Q_{2}(x)$ không nguyên bản, trái với bổ đề Gauss . Mâu thuẫn. Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $Q[x].$

3.3. Một số tính chất của đa thức bất khả quy

3.4. Một số bài tập có lời giải

Bài 1. Cho tam thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. 

Chứng minh rằng $P(x)$ nguyên với mọi $x$ nguyên khi và chỉ khi $c, a+b$ và $2a$ nguyên.

Bài 2. a) Tìm tất cả các số nguyên $a$ sao cho $(x-a)(x-10)+1$ có thể phân tích được thành tích dạng $(x+b)(x+c)$ với $b, c$ là các số nguyên.

b) Tìm tất cả các số nguyên khác $0$ và đôi một khác nhau $a,b,c$ sao cho đa thức

$$x(x-a)(x-b)(x-c)+1$$

có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên.

Bài 3. Chứng minh các đa thức sau là bất khả quy

$$a)x^3+5x^2+35$$

$$b)x^4-x^3+2x+1$$

Bài 4. Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng đa thức:

$$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$$  

bất khả quy.

Bài 5. Cho $n$ số $a_{i}$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh:

a) $(x-a_{1})(x-a_{2})…(x-a_{n})–1$ bất khả quy

b) $(x-a_{1})^2(x-a_{2})^2…(x-an)^2+1$ bất khả quy

3.4. Bài tập

Bài 1. Đa thức $P(x)$ bậc $n$ có hệ số hữu tỷ là đa thức nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên tại $n+1$ điểm nguyên liên tiếp. Chứng minh.

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên phân biệt $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ để $(x-a_{1})(x-a_{2})…(x-a_{n})+1$ khả quy.

Bài 3. (Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng) Cho đa thức:

$$P(x)= a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + …+ a_{1}x + a_{0}$$

Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho:

i) $a_{n}$ không chia hết cho $p$

ii) $a_{0}$ không chia hết cho$p^2$

iii)$a_{0},a_{1},...,a_{n-k}\vdots p$ 

Khi đó nếu $P(x) = H(x)$.$G(x)$ thì một trong hai đa thức $H(x), G(x)$ có bậc nhỏ hơn $k.$

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị $n$ nguyên dương sao cho đa thức $x^n+4$ khả quy trên $Z[x]$.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, đa thức $x^n + 5x^{n-1} + 3$ bất khả quy.

Bài 6. Tìm hệ số tự do của đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, biết rằng trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1000 và $P(19) = P(94) = 1994$.