$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Bài toán:

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Lời giải:

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}+\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq 1$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số ta có:

$\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq \dfrac{\dfrac{a}{a+x}+\dfrac{b}{b+y}+\dfrac{c}{c+z}}{3}$

$\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\leq \dfrac{\dfrac{x}{a+x}+\dfrac{y}{b+y}+\dfrac{z}{c+z}}{3}$

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta được đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$ và $x=y=z$