$\dfrac{a}{(3b+5c)^3}+\dfrac{b}{(3c+5a)^3}+\dfrac{c}{(3a+5b)^3}\geq \dfrac{9}{512}$

Bài toán:Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$$\dfrac{a}{(3b+5c)^3}+\dfrac{b}{(3c+5a)^3}+\dfrac{c}{(3a+5b)^3}\geq \dfrac{9}{512}$$

Lời giải:Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số dương ta có:

$\dfrac{a}{(3b+5c)^{3}}+\dfrac{9a(3b+5c)}{4096}+\dfrac{9a(3b+5c)}{4096}+\dfrac{9a(3b+5c)}{4096}\geq 4a\sqrt[4]{\dfrac{9^{3}}{4096^{3}}}$

Thiết lập tương tự ta có

$\begin{cases} & \text{ } \dfrac{a}{(3b+5c)^{3}}\geq 4a\sqrt[4]{\dfrac{9^{3}}{4096^{3}}}-\dfrac{27}{4096}(3ab+5ac) \\ & \text{ } \dfrac{b}{(3c+5a)^{3}}\geq 4b\sqrt[4]{\dfrac{9^{3}}{4096^{3}}}-\dfrac{27}{4096}(3ac+5ab) \\ & \text{ } \dfrac{c}{(3a+5b)^{3}}\geq 4c\sqrt[4]{\dfrac{9^{3}}{4096^{3}}}-\dfrac{27}{4096}(3ac+5cb) \end{cases}$

Do đo VT$_{dt}$$\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{9^{3}}{4096^{3}}}(a+b+c)-\dfrac{27}{512}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{9^{3}}{4096^{3}}}\sqrt{3(ab+bc+ca)}-\dfrac{27}{512}$
$=\dfrac{9}{512}$

Kết thức chứng minh dấu '=' xẩy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$