Phép nhóm Abel chứng minh BĐT

Trong những kì thi vào chuyên toán, những kì thi HSG thì bất đẳng thức là 1 phần rất khó và được rất nhiều thầy cô giáo cũng như học sinh quan tâm đến. Những năm gần đây thì các kì thi đều có xu hướng không ra những bài BĐT đối xứng nữa, mà thay vào đó là những BĐT với rất nhiều điều kiện cũng như thứ tự giữa các biến. Hôm nay mình xin phép được trình bày về 1 phương pháp giải các dạng BĐT này, đó là phép nhóm Abel 

    1.     PHÉP NHÓM ABEL

Cho 2 dãy số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Kí hiệu $S_{k}=b_{1}+b_{2}+...+b_{k}$. Khi đó ta có đẳng thức:

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}=(a_{1}-a_{2})S_{1}+(a_{2}-a_{3})S_{2}+...$
$+(a_{n-1}-a_{n})S_{n-1}+a_{n}S_{n}$

2 trường hợp mà chúng ta hay dùng nhất là

·         $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+a_{2}(b_{1}+b_{2})$

·         $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3})$

      2. CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1:Với $\alpha \geq \beta \geq \gamma > 0$; $a\geq \alpha , ab\geq \alpha \beta , abc\geq \alpha \beta \gamma$. Chứng minh rằng :

$a+b+c\geq \alpha +\beta +\gamma$

Giải

Sử dụng phép nhóm Abel ta có $a+b+c=\gamma (\dfrac{a}{\alpha }+\dfrac{b}{\beta }+\dfrac{c}{\gamma })+(\beta -\gamma )\left ( \dfrac{a}{\alpha }+\dfrac{b}{\beta } \right )+\left ( \alpha -\beta \right )\dfrac{a}{\alpha }$
$\geq 3\gamma \sqrt[3]{\dfrac{abc}{\alpha \beta \gamma }}+2(\beta -\gamma )\sqrt{\dfrac{ab}{\alpha \beta }}+(\alpha -\beta )\dfrac{a}{\alpha }$
$\geq 3\gamma +2(\beta -\gamma )+\left ( \alpha -\beta \right )=\alpha +\beta +\gamma$

(đpcm)

Bài toán 2:Với $0< a\leq b\leq c, bc\leq 6, abc\leq 6$. Chứng minh rằng:

$a+b+c\leq 6$

Giải

Ta có $6=1+2+3=a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})+(b-a)(\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})+(c-b)\dfrac{3}{c}$
$\Rightarrow 6\geq 3a\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}+2(b-a)\sqrt{\dfrac{6}{bc}}+(c-b)\dfrac{3}{c}$
$\geq a+b+c$

(đpcm)

Từ những ví dụ trên, ta có thể rút ra phương pháp giải cho những BĐT dạng này

Bước 1:Xác định dấu đẳng thức xảy ra khi nào bằng cách chuyển các điều kiện đã cho thành đẳng thức

Bước 2:Viết lại đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đối xứng 2 vế

Bước 3:Áp dụng phép nhóm Abel cho 1 vế của 1 BĐT theo điều kiện thứ tự

Dưới đây là 1 số ví dụ minh họa

Bài toán 3:Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a\geq b\geq 1, a\leq 3, ab\leq 6, ab\leq 6c$. Chứng minh rằng:

$a+b-c\leq 4$

Giải

Bằng cách chuyển tất cả những điều kiện đã cho thành đẳng thức, ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$. Do đó ta sẽ viết BĐT cần chứng minh dưới dạng:

$a+b+1\leq 3+2+c$

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có $3+2+c$
$=(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{c}{1})+(b-1)\left ( \dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b} \right )+\dfrac{3}{a}(a-b)$
$\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{6c}{ab}}+2(b-1)\sqrt{\dfrac{6}{ab}}+(a-b)=a+b+1$

(đpcm)

Bài toán 4:Với $a,b,c> 0, \dfrac{b}{2}+c\leq 2, \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}+c\leq 3, c\leq 1$, chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{11}{6}$

Giải

Ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c})+\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right )\left ( \dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c} \right )+\left ( 1-\dfrac{1}{2} \right )\dfrac{1}{c}$
$\geq \dfrac{1}{3}.\dfrac{9}{\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}+c}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}).\dfrac{4}{\dfrac{b}{2}+c}+\left ( 1-\dfrac{1}{2} \right ).\dfrac{1}{c}$
$\geq \dfrac{1}{3}.3+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}).2+\left ( 1-\dfrac{1}{2} \right )=\dfrac{11}{6}$ 

(đpcm)

Bài toán 5:Cho $0< x< y\leq z\leq 1$ và $3x+2y+z=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3x^2+2y^2+z^2$

(Đề thi HSG toán lớp 9 thành phố HCM năm 2007)

Giải

Áp dụng phép nhóm Abel kết hợp với giả thiết, ta có:

$P=z.z+2y.y+3x.x=z(z-y)+(z+2y)(y-x)+x(x+2y+3z)$
$\leq (z-y)+(1+2)(y-x)+4x=z+2y+x=\dfrac{1}{3}(3z+2.3.y+3.x)$
$= \dfrac{1}{3}\left [ z(3-3)+(z+2y)(3-1)+z+2y+3x \right ]=\dfrac{1}{3}\left [ 2(z+2y)+x+2y+3z \right ]$
$\leq \dfrac{10}{3}$

(đpcm)

(Bài toán này còn 1 cách sử dụng BĐT C-S, các bạn có thể tham khảo tại đây:http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/96540-t3x22y2z2/)

Bài toán 6:Với $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq 3,a+b\leq 5$, tìm GTLN của biểu thức:

$P=a^2(a+1)+b^2(b+1)$

(Đề thi thử Toán chung trường THPT chuyên  KHTN năm 2012)

Giải

Ta sẽ chứng minh $P=a^2+a^3+b^2+b^3\leq 2^2+2^3+3^2+3^3$
$\Leftrightarrow (3^3-b^3)+(3^3-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-b^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (3-b)(b^2+3b+9)+(2-a)(a^2+2a+4)+(3-b)(3+b)+(2-a)(2+a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (3-b)\left [ (b^2+3b+9)-(a^2+2a+4) \right ]+(3-b)\left [ (3+b)-(2+a) \right ]$
$+\left [ 5-(a+b) \right ](a^2+2a+4)+\left [ 5-(a+b) \right ](a+2)\geq 0$

(đúng)

Bài toán 7:Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=9$, $x\geq 5, x+y\geq 8$. Chứng minh rằng:

$xyz\leq 15$

(Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương năm 2008-2009)

Giải

Phản chứng, giả sử $xyz> 15$. Ta có $z=9-x-y\leq 1\Rightarrow xy> \dfrac{15}{z}\geq 15$

Áp dụng phép nhóm Abel và BĐT AM-GM, ta có:

$x+y+z=\dfrac{x}{5}.5+\dfrac{y}{3}.3+z.1=2\dfrac{x}{5}+2(\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{3})+(\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{3}+z)$
$\geq 2.\dfrac{x}{5}+4\sqrt{\dfrac{xy}{15}}+3\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{15}}> 2+4+3=9$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy $xyz\leq 15$

Bài toán 8:Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq 3\leq c$, $c\geq b+1, a+b\geq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

(Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên KHTN năm 2012)

Giải

Trước tiên ta sẽ thu gọn biểu thức đang rất cồng kềnh

$P=\dfrac{1}{1+c}+\dfrac{ab+abc-c-1}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\dfrac{1}{1+c}+\left [ \dfrac{ab-1}{(1+a)(1+b)}+1 \right ]-1$
$=\dfrac{1}{1+c}-1+\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}-\dfrac{c}{1+c}$

Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a=1,b=2,c=3$, khi đó $P=\dfrac{5}{12}$, nên ta sẽ chứng minh $P\geq \dfrac{5}{12}$

Thật vậy, ta có $P\geq \dfrac{5}{12}$
$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{3}{4}-\dfrac{c}{1+c} \right )+\left ( \dfrac{b}{1+b}-\dfrac{2}{3} \right )+(\dfrac{a}{1+a}-\dfrac{1}{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{3-c}{4(1+c)}+\dfrac{b-2}{3(b+1)}+\dfrac{a-1}{2(a+1)}\geq 0$

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có BĐT tương đương với $(3-c)(\dfrac{1}{4(c+1)}-\dfrac{1}{3(b+1)})+\left [ (3-c)+(b-2) \right ]\left [ \dfrac{1}{3(b+1)}-\dfrac{1}{2(a+1)} \right ]$
$+\left [ (3-c)+(b-2)+(a+1) \right ]\dfrac{1}{2(a+1)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(3-c)(3b-4c+1)}{12(b+1)(c+1)}+\dfrac{(b+1-c)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\dfrac{a+b-c}{2(a+1)}\geq 0$

(đúng)

Bài toán đã được chứng minh. 

Bài toán này năm ngoái đã khiến bao nhiêu học sinh giỏi toán phải "chết đứng". Tuy nhiên, nếu chúng ta có kiến thức về phép nhóm Abel thì bài toán này có lẽ chỉ là "dọa trẻ con" thôi mọi người nhỉ          

Do kiến thức hạn hẹp nên mình xin phép chỉ được trình bày đến đây. Hi vọng qua những bài toán trên các bạn đã phần nào hiểu được về phép nhóm Abel cũng như ứng dụng của nó trong việc chứng minh BĐT. 

Sau đây là 1 số ví dụ để mọi người luyện tập. 

Bài toán 1:Với $a,b,c> 0$ thỏa mãn điều kiện $c\geq 2, a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3}{c}\geq 3;\dfrac{b}{2}+c\geq 2; \dfrac{3}{c}\geq 1$. Tìm GTLN của biểu thức 

$P=c^2-a^2-b^2$

Bài toán 2:Với $a\geq b\geq 1\geq c> 0$, $\dfrac{2}{b}+c\leq 2$, $\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+c\leq 3$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{6}$

Bài toán 3:Với $0< a\leq b\leq c$ là các só thực dương thỏa mãn các điều kiện $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\geq 3, \dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\geq 2, \dfrac{3}{c}\geq 1$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3\leq 36$

Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

Bài toán 5: (làm mạnh BĐT Chebyshev). Giả sử các số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$ thoả mãn điều kiện

$a_{1}\geq \dfrac{a_{1}+a_{2}}{2}\geq ...\geq \dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

$b_{1}\geq \dfrac{b_{1}+b_{2}}{2}\geq ...\geq \dfrac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}$

Chứng minh rằng:

$n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$

Mong rằng bài viết này của mình sẽ có ích đối với mọi người

Chúc các bạn lớp 9 đạt kết quả tốt trong kì thi vào trường chuyên mà mình mong muốn.

Các bạn tham khảo thêm tại file phep nhom albel.pdf

Nguồn: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/98401-ph%C3%A9p-nh%C3%B3m-abel-trong-ch%E1%BB%A9ng-minh-b%E1%BA%A5t-%C4%91%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c/