$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$

Bài toán:

Cho $x;y>0$ thoả: $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$. Tìm Min $P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô si có:

$$4\leq (\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)$$

$$=\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1$$

$$\leq \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{y+1}{2}+1$$

$$=x+y+2$$

$\Rightarrow x+y\geq 2$

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu có:

$$P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\geq \dfrac{(x+y)^2}{x+y}=x+y\geq 2$$

Dấu = xảy ra khi: $x=y=1$