$A=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$

Bài toán:
Với $a,b,c,d$ là các số dương thoả mãn:
$$abc+bcd+cda+dab=1$$
Tìm Min của biểu thức:
$$A=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$$

Lời giải:

Áp dụng AM-GM ta có 

                  $a^3+b^3+c^3 \geq 3abc~~(1)$

                  $k^3d^3+a^3+b^3 \geq 3kabd$

              $\Rightarrow k^2d^3+a^3.\dfrac{1}{k}+b^3.d\frac{1}{k} \geq 3abd~~(2)$

Tương tự ta cũng có  $k^2d^3+a^3.\dfrac{1}{k}+c^3.\dfrac{1}{k} \geq 3acd~~(3)$

                                 $k^2d^3+b^3.\dfrac{1}{k}+c^3.\dfrac{1}{k} \geq 3bcd~~(4)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1);(2);(3);(4)$ ta có :
$3k^2d^3+(a^3+b^3+c^3)(1+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k}) \geq 3(abc+abd+acd+bcd)=3$

$$\Rightarrow 3k^2d^3+(a^3+b^3+c^3).\dfrac{k+2}{k} \geq 3$$

Ta cần xác định $k$ dương sao cho 
$$\dfrac{3k^2}{\dfrac{k+2}{k}}=\dfrac{9}{4}$$