Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình môn Toán năm 2014-2015 (2 vòng)

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(Vòng 1)

Bài $1$. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A=\left ( \dfrac{2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}+1}-\dfrac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right ):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}~~(x>0;~x\neq 4)$

$1.$ Rút gọn biểu thức $A$

$2.$ Tìm $x$ sao cho $A$ nhận giá trị là một số nguyên

Bài $2$. (2,5 điểm)

Cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=2(m+3)x-2m+2$ $(m$ là tham số, $m\in \mathbb{R})$

$1.$ Với $m=-5$, tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$.

$2.$ Cmr: Với mọi $m$, parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt. Tìm $m$ sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.

$3.$ Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d)$ đi qua với mọi $m$.

Bài $3$. (1,5 điểm)

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix}2x^2+3xy-2y^2-5(2x-y)=0  &  & \\ x^2-2xy-3y^2+15=0  &  &  \end{matrix}\right.$

Bài $4$. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O;R)$ cắt nhau tại $T$. Đường thẳng $AT$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $D$ khác $A$.

$1.$ Cmr: $\bigtriangleup ABT\sim \bigtriangleup BDT$

$2.$ Cmr: $AB.CD=BD.AC$

$3.$ Cmr: Hai đường phân giác góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ và đường thẳng $BC$ đồng quy tại một điểm

$4.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Cm: $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$

Bài $5$. (0,5 điểm)

Cho các số dương $x,y,z$ thay đổi thoả mãn: $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$B=\dfrac{1}{x+y+1}+\dfrac{1}{y+z+1}+\dfrac{1}{z+x+1}$

---Hết---

___________________________________

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(vòng 2) 

Bài $1$:

$1/$ Giải pt: $\sqrt{5x-6}+\sqrt{10-3x}=2x^2-x-2$

$2/$ Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}x^3+8xy^2=96y  &  & \\ x^2+32y^2=48  &  &  \end{matrix}\right.$

Bài $2$:

$1/$ Cho pt: $x^2-2x-4=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$. Tính $S=x_1^2+x_2^2$

$2/$ Cho $a;b;c;d$ là các số nguyên dương thoả mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$

Chứng minh: $a+b+c+d$ là hợp số.

Bài $3$:

Cho $a;b;c$ là ba số thực dương và có tổng bằng $1$

Chứng minh: $\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ca}{b+ca}+\dfrac{c-ab}{c+ab}\leq \dfrac{3}{2}$

Bài $4$:

Cho hình bình hành $ABCD$ với $A,C$ cố định và $B,D$ di động. Đường phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt $AB$ và $AD$ theo thứ tự tại $I$ và $J$ ($J$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $M$ là giao điểm khác $A$ của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ và $AIJ$. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIJ$.

$1/$ CM: $O$ là phân giác $\widehat{IAJ}$

$2/$ CM: $4$ điểm $A;B;D:O$ cùng thuộc một đường tròn

$3/$ Tìm đường tròn cố định luôn đi qua $M$ khi $B;D$ di động.

Bài $5$:

Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

---Hết---

________________

Mời mọi người thảo luận tại đây