CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$

Lời giải: Đặt $\sqrt{ax+b}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^2+dx+e & & \\ ax+b=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^2+dx-\alpha y=\beta -e (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-ax=b-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$

Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.

Thí dụ 1: Giải pt:

$\sqrt{x+1}=x^2+4x+5$

Phân tích: 
Đặt $\sqrt{x+1}=\alpha y+\beta$ ($\alpha \neq 0$)

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^2+4x+5 & & \\ x+1=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+4x-\alpha y=\beta -5 (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Chọn $\alpha ^2=1$. Khi đó:

$(2)\Leftrightarrow y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (3)$

Trừ theo vế của $(1)$ cho (3) ta được:

$(x^2-y^2)+5x-(\alpha +2\alpha \beta )y=\beta ^2+\beta -6$

Chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}\alpha +2\alpha \beta =\pm 5 & & \\ \beta ^2+\beta -6=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$

Chúng ta có thể hiểu và làm gọn hơn như sau:

$(*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^2=1 & & \\ 2\alpha \beta =4 & & \\ \alpha =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$ (Hệ số của $x^2$ giống hệ số của $y^2$; hệ số của $x$ giống hệ số của $y$)

Lời giải: ĐK: $x\geq 1$ 

Đặt $\sqrt{x+1}=y+2$ ($y\geq -2$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-y=-3 (1) & & \\ y^2+4y-x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được: $(y-x)(y+5+x)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix}y=x & & \\ y=-5-x & & \end{bmatrix}$

Thay ngược trở lại $(1)$ hoặc $(2)$ để tìm nghiệm.

Thí dụ 2: Giải pt:

$\sqrt{3x+1}+4x^2-13x+5=0$

Lời giải: ĐK: $x\geq -\frac{1}{3}$

Làm tương tự Thí dụ 1 tìm được $\left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =-2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{3x+1}=2y-2$ ($y\geq 1$)

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4x^2-13x+2y=-3 (1) & & \\ 4y^2-8y-3x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ rồi làm tương tự thí dụ 1.

Bài toán 2: Giải pt:
$\sqrt[3]{ax+b}=cx^3+dx^2+ex+f$ ($II$) với $ac\neq 0$

Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^3+dx^2+ex+f & & \\ ax+b=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3a\beta ^2y-ax=b-\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^3+dx2+ex-\alpha y=\beta -f (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-ax=b-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$

Tương tự bài toán 1, ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.

Thí dụ 3: $\sqrt[3]{x+1}=x^3-15x^2+75x-131$

Phân tích: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^3-15x^2+75x-131 & & \\ x+1=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y+\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-\alpha y=\beta +131 (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-x=1-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$ $(**)$

Trừ theo vế của $(3)$ và $(4)$ ta được:
$x^3-\alpha ^3y^3-(15x^2+3\alpha ^2\beta y^2)+76x-(\alpha +3\alpha \beta ^2)y=\beta ^3+\beta +130$

Ta chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}\alpha ^3=\pm 1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \alpha +3\alpha \beta ^2=\pm 76 \\ \beta ^3+\beta +130=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =-5 & & \end{matrix}\right.$

Dễ hiểu hơn:
$(**)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^3=1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \end{matrix}\right.$ (Hệ số giống nhau, có lẽ chỉ cần hệ 2 pt này là đủ)
​Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=y-5$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-y=126 & & \\ y^3-15y^2+75y-x=126 & & \end{matrix}\right.$

Giải tương tự bài toán 1.

Có lẽ không cần đến Thí dụ 4, nhỉ?

Nhận xét:
Dạng pt này là khó, chúng ta đã bắt gặp đâu đó và cách giải của nó với điều kiện của pt rất phức tạp! Dường như người ta đã cố ý áp đặt n hư vậy để giải được. Lẽ dĩ nhiên nếu không chọn được $\alpha ;\beta$ thì pt cũng không thể giải được như trên. Với cách làm này mình hi vọng các bạn THCS sẽ dễ hiểu hơn. Cuối cùng xin mời các bạn luyện tập qua việc tự giải các pt sau:

1) $2\sqrt{2x-1}=x^2-2x$

2) $\sqrt{3x-2}+4x^2-21x+22=0$

3) $2x^3=1+\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}$

4) $\sqrt[3]{3x^3-5}=8x^3-36x^2+53x-25$

5) $x^3+3x^2-3\sqrt[3]{3x+5}=1-3x$