Chứng minh định lý Ce-va và Menelaus

$I-$ Định lý $Ce-va$:

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $D;E;F$ thuộc đường thẳng $BC;CA;AB$ 

Cmr: $AD;BE;CF$ đồng quy $\Leftrightarrow \dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Lời giải:

[attachment=17891:h.PNG]

·                                 Chứng minh phần thuận:

Nếu có:  $AD;BE;CF$ đồng quy

thì ta sẽ chứng minh: $\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Giả sử $AD;BE;CF$ đồng quy tại $O$ thì $O$ ở trong hay ở ngoài tam giác $ABC$ ta đều có:

$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{AFO}}{S_{BFO}}=\dfrac{S_{CAF}}{S_{CBF}}=\dfrac{S_{CAF}-S_{AFO}}{S_{CBF}-S_{BFO}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}$

Chứng minh tương tự (Cmtt) :

+) $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{AOC}}$

+) $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOB}}=1$

Nhân 3 đẳng thức trên lại ta được:

$\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

·                                 Chứng minh phần đảo:

Nếu có: $\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

thì ta sẽ chứng minh: $AD;BE;CF$ đồng quy

Gọi $BE\cap CF\equiv O$; $AO\cap BC\equiv D'$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1  &  & \\ \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD'}{CD'}.\dfrac{CE}{AE}=1 (*) &  &  \end{matrix}\right.$

(Chứng minh $(*)$ giống phần thuận)

$\Rightarrow \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BD'}{CD'}\Rightarrow \dfrac{BD}{DC\pm BD}=\dfrac{BD'}{CD'\pm BD'}$ (Do có 2 truờng hợp)

$\Rightarrow \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BD'}{BC}\Rightarrow BD=BD'$

Cmtt $\Rightarrow DC=D'C$

Từ 2 điều trên $\Rightarrow D\equiv D'$

Vậy $AD;BE;CF$ đồng quy.

$II-$ Định lý $Menelauyt$ ($Menelaus$)

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ thuộc đường thẳng $BC;CA;AB$.

Cmr: $D;E;F$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

Lời giải:

[attachment=17900:h.PNG]

·                                 Chứng minh phần thuận

Nếu có $D;E;F$ thẳng hàng

thì ta sẽ chứng minh: $\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

Giả sử $D;E;F$ thẳng hàng.

Kẻ $AQ//BC$ ($Q\in DF$)

Theo định lý Ta-let ta có:

+) $\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{QF}{FD}=\dfrac{AQ}{BD}$

+) $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{DC}{AQ}$

Nhân 2 đẳng thức trên ta có:

$\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{AQ}{BD}.\dfrac{DC}{AQ}=\dfrac{DC}{BD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CD}{BD}=1$

·                                 Chứng minh phần đảo

Nếu có $\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

thì ta sẽ chứng minh: $D;E;F$ thẳng hàng

Giả sử ta có: $\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

Gọi $FD\cap AC\equiv E'$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1  &  & \\ \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE'}{AE'}=1 (*)  &  &  \end{matrix}\right.$

(Chứng minh $(*)$ giống phần thuận)

$\Rightarrow \dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CE'}{AE'}\Rightarrow \dfrac{CE}{AE+CE}=\dfrac{CE'}{AE'+CE'}\Rightarrow \dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CE'}{AC}\Rightarrow CE=CE'$

Cmtt $\Rightarrow BE=BE'$

$\Rightarrow E\equiv E'$

Vậy $D:E;F$ thẳng hàng