Sở giáo dục và đào tạo Thái Bình
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng $x=\sqrt{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\sqrt{3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}}$ là một nghiệm của phương trình: $x^{5}-4x^{4}+3x^{3}-14x+8=0$
Câu II. (4.0 điểm)
1) Cho $2$ đường thẳng $d_{1}$: $y=(m^{2}+1)x-m^{2}+2$; $d_{2}$: $y=\dfrac{-1}{m^{2}+1}x+\dfrac{3m^{2}+7}{m^{2}+1}$ (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì $d_{1};d_{2}$ luôn cắt nhau tại một điểm $M$ nằm trên một đường tròn cố định.
2) Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thoả mãn: $P(2012)=P(2013)=P(2014)=2013$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)-2014$ không có nghiệm nguyên.
Câu III. (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x^{3}+3x(y-1)-1=13\sqrt{y-1} ~~(1) & & \\ 3x^{2}y+y^{2}+14=3x^{2}+15y ~~(2) & & \end{matrix}\right.$
Câu IV. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn: $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}+\dfrac{1}{y^{2}+2z^{2}+1}+\dfrac{1}{z^{2}+2x^{2}+3}$
Câu V. (3.0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác trong góc $B$ là $BD$ cắt trung tuyến $AM$ tại $I$, đường thẳng $CI$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh rằng: $\dfrac{AB}{AN}+1=2\dfrac{AM}{AI}$
Câu VI. (3,0 điểm)
Từ một điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ tia $Px$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$ và tia $Py$ tiếp xúc với $(O)$ tại $B$. Trên tia $Px$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đoạn $PA$, trên tia $Py$ lấy điểm $D$ nằm ngoài đoạn $PB$. Trên đoạn $CD$ lấy điểm $M$ sao cho $\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{AC}{BD}$, đường thẳng qua $C$ song song với $Py$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$.
Chứng minh rằng: $AB.CN=AO.AN$ và $\widehat{ACO}=\widehat{ANB}$
Câu VII. (2,0 điểm)
Cho $1008$ số nguyên dương phân biệt không vượt quá $2014$. Chứng minh rằng trong các số đó luôn tồn tại 2 số có tổng bằng 2015.
---HẾT---
Thảo luận tại đây
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét