Sở giáo dục và đào tạo Thái Bình
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng x=\sqrt{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\sqrt{3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}} là một nghiệm của phương trình: x^{5}-4x^{4}+3x^{3}-14x+8=0
Câu II. (4.0 điểm)
1) Cho 2 đường thẳng d_{1}: y=(m^{2}+1)x-m^{2}+2; d_{2}: y=\dfrac{-1}{m^{2}+1}x+\dfrac{3m^{2}+7}{m^{2}+1} (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì d_{1};d_{2} luôn cắt nhau tại một điểm M nằm trên một đường tròn cố định.
2) Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả mãn: P(2012)=P(2013)=P(2014)=2013. Chứng minh rằng đa thức P(x)-2014 không có nghiệm nguyên.
Câu III. (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:\left\{\begin{matrix}x^{3}+3x(y-1)-1=13\sqrt{y-1} ~~(1) & & \\ 3x^{2}y+y^{2}+14=3x^{2}+15y ~~(2) & & \end{matrix}\right.
Câu IV. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn: xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=\dfrac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}+\dfrac{1}{y^{2}+2z^{2}+1}+\dfrac{1}{z^{2}+2x^{2}+3}
Câu V. (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc B là BD cắt trung tuyến AM tại I, đường thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh rằng: \dfrac{AB}{AN}+1=2\dfrac{AM}{AI}
Câu VI. (3,0 điểm)
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tia Px tiếp xúc với (O) tại A và tia Py tiếp xúc với (O) tại B. Trên tia Px lấy điểm C nằm ngoài đoạn PA, trên tia Py lấy điểm D nằm ngoài đoạn PB. Trên đoạn CD lấy điểm M sao cho \dfrac{MC}{MD}=\dfrac{AC}{BD}, đường thẳng qua C song song với Py cắt đường thẳng BM tại N.
Chứng minh rằng: AB.CN=AO.AN và \widehat{ACO}=\widehat{ANB}
Câu VII. (2,0 điểm)
Cho 1008 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 2014. Chứng minh rằng trong các số đó luôn tồn tại 2 số có tổng bằng 2015.
---HẾT---
Thảo luận tại đây
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét