Trương Việt Hoàng's Blog: Chuyên đề Bất Đẳng Thức

Chủ Nhật, 9 tháng 2, 2014

Chuyên đề Bất Đẳng Thức - Cực Trị

Toàn bộ chuyên đề viết ở đây

Chuyên đề: Bất đẳng thức - Cực trị

1) Một số tính chất:
1.1) Tính chất bắc cầu:

$a<b;b<c$

$\Rightarrow a<c$

1.2) Cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:

$a<b$

$\Rightarrow a+c< b+c$

1.3) Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac< bc$
Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bc$

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c< b+d$

1.5) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a-c< b-d$

1.6) Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều có hai vế không âm:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b\geq 0 & & \\ c> d\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bd$

1.7) Nâng lên luỹ thừa:

Nếu $a> b> 0\Rightarrow a^{n}> b^{n}(n\in \mathbb{N}*)$
$a> b \Rightarrow a^{n}> b^{n}$ ( $n$ lẻ)

1.8) So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số:

Nếu $\left\{\begin{matrix}m,n\in \mathbb{N}* & & \\ m>n & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}a> 1 \Rightarrow a^{m}> a^{n} & & \\ a=1 \Rightarrow a^{m}=a^{n} & & \\ a<1 \Rightarrow a^{m}< a^{n} \end{matrix}\right.$

1.9) Lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức cùng dấu:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b & & \\ ab> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

1.10) Cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{a}{b}>1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$

2) Các bất đẳng thức thường gặp:

2.1)

$a^{2}\geq 0\forall a$ . Dấu "=" có khi:

$a=0$ .

2.2)

$|a|\geq 0\forall a$ . Dấu "=" có khi:

$a=0$ .

2.3)

$|a|\geq a\forall a$ . Dấu "=" có khi:

$a\geq 0$ .

2.4)

$|a|+|b|\geq |a+b|$ . Dấu "=" có khi:

$ab\geq 0$ .

2.5)

$|a|-|b|\leq |a-b|$ . Dấu "=" có khi:

$\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$ .

2.6)

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ . Dấu "=" có khi:

$a=b$

2.7)

$(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq (\frac{(a+b)}{2})^{2}$ . Dấu "=" có khi:

$a=-b$ .

2.8)

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$ . Dấu "=" có khi:

$a=b$ .

2.9)

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2(ab> 0)$ . Dấu "=" có khi:

$a=b$ .

2.10) Các bất đẳng thức cổ điển:

a) Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

Với

$n$ số thực dương:

$a_{1};a_{2};...;a_{n}$

Dạng 1:

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Dạng 2:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Dạng 3:

$(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})^{n}\geq a_{1}a_{2}...a_{n}$

Dấu "=" có khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

b) Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):
Với 2 bộ số thực bất kì: (

$a_{1};a_{2};...;a_{n}$ );(

$b_{1};b_{2};...;b_{n}$ ):
Dạng 1:

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dạng 2:

$|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}|\leq \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}}$

Dấu "=" có khi:

$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$

Dạng 3:

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\leq \sqrt{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})}$

Dấu "=" có khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}>0$

c) Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz)

Với

$\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có:

$\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

Chứng minh: Xét

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=(\frac{a_{1}}{\sqrt{x_{1}}}.\sqrt{x_{1}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{x_{2}}}.\sqrt{x_{2}}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt{x_{n}}}.\sqrt{x_{n}})^{2}\leq (\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$ (Áp dụng BCS)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

d) Bất đẳng thức Minkopsky:

Cho 2 dãy số thực dương:

$(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$

Dấu "=" xảy ra khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ .

3) các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp:

Phương pháp biến đổi tương đương.
Phương pháp sử dựng các bất đẳng thức cổ điển và sử dụng các bất đẳng thức phụ đã biết.
Phương pháp làm trội, làm giảm.
Phương pháp dồn biến, đổi biến.
Phương pháp tách bình phương.
Phương pháp hình học.
Phương pháp phản chứng.
Phương pháp quy nạp