$2011x^2 -2012y^2 +2013^2=0$

Bài toán:

Cmr: Pt sau có vô số nghiệm nguyên

$$2011x^2 -2012y^2 +2013^2=0$$

$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$

Bài toán: 
Cho $a;b;c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$$

$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

Bài toán:Tìm Min $$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$$

Phương pháp UCT giải hệ phương trình (Phần 1)

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 1)

Tác giả: nthoangcute

Quote

Hệ pt tổng quát: $\boxed{\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2=0 & & \end{matrix}\right.}$

Đây là hệ gồm hai tam thức bậc hai. Khi đó tất nhiên ta phải nghĩ tới $\Delta$. Một tam thức có phân tích được nhân tử hay không phải xem $\Delta x$ hoặc $\Delta y$ có chính phương hay không. Nếu một trong 2 pt cho $\Delta x$ hoặc $\Delta y$ chính phương thì dễ dàng rồi, khi đó tìm nghiệm rồi phân tích nhân tử là ra được mối quan hệ giữa $x;y$ và thế vào pt còn lại thôi! Thế nhưng nếu cả 2 pt đều cho $\Delta x;y$ không chính phương thì ta làm như nào? Khi đó phải dùng đến phương pháp $UCT$ - một công cụ rất mạnh gần như quét sạch tất cả các bài HPT. Ta sẽ chọn hằng số thích hợp nhân vào một pt sau đó cộng (trừ) với pt còn lại và ép cho $\Delta$ chính phương.

Tức là tìm $k$ sao cho $\Delta$ của $\left(PT(1)+k.PT(2)\right)$ chính phương (là có thể phân tích thành nhân tử).

Quote

Phương pháp giải:

Đặt $a=a_1+ka_2$; $b=b_1+kb_2$; $c=c_1+kc_2$; $d=d_1+kd_2$; $e=e_1+ke_2$; $f=f_1+kf_2$

Số $k$ là nghiệm của pt sau với $a\neq 0$

$$cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$$

Ví dụ 1:

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0  &  & \\ 35x^2+28y^2+41x-122y+56=0  &  &  \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}16x^3y^3-9y^3=(2xy-y)(2xy^2+3) & & \\ 4x^2y^2-2xy^3+y^2=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài toán:
Giải hpt: $$\left\{\begin{matrix}16x^3y^3-9y^3=(2xy-y)(2xy^2+3)  &  & \\ 4x^2y^2-2xy^3+y^2=3  &  &  \end{matrix}\right.$$

$4x^3+3x=\dfrac{3}{4}$

Bài toán:Giải pt: $$4x^3+3x=\dfrac{3}{4}$$

Chứng minh BĐT có biến ở dưới mẫu

Hoán vị vòng quanh trong chứng minh BĐT

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$

Bài toán: 

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$$ .

Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $20^o$. Cạnh đáy có độ dài là $a$, cạnh bên có độ dài là $b$. Cmr: $a^3+b^3=3ab^2$

Bài toán:

Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $20^o$. Cạnh đáy có độ dài là $a$, cạnh bên có độ dài là $b$.

Cmr: $a^3+b^3=3ab^2$

$\left\{\begin{matrix}x+6\sqrt{xy}-y=6 & & \\ x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài toán: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x+6\sqrt{xy}-y=6 & & \\ x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 & & \end{matrix}\right.$$

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Bài toán:Cho $c>0$ và $a;b\geq c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$$

Các đề thi trường chuyên năm 2014-2015

Đây là danh sách các đề thi vào THPT chuyên năm 2014-2015
Xem tại đây

$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$

Bài toán:Cho $a;b;c>0$. Cmr: $$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$$

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là số thực dương
Ta luôn có: $$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$$

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

Bài toán:Cho a,b,c là số thực dương.
Ta luôn có $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$

$(a+b+c)(ab+bc+ca\geq 9abc$

Bài toán:Với $a,b,c$ dương ta có: $$(a + b + c).(ab + bc + ac) \ge 9abc$$

$$\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}$$

Bài toán:Chứng minh với $ab \ge 1$ ta luôn có: $$\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}$$

$\dfrac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\dfrac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\dfrac{8}{3}$

Bài toán:Giải pt: $$\dfrac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\dfrac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\dfrac{8}{3}$$