$\large \left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y & & \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x & & \end{matrix}\right.$

Bài toán:
Giải hệ pt:
$\large \left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y  &  & \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x  &  &  \end{matrix}\right.$

Nhận xét: 

Đây là một loại HPT đối xứng loại 1. Nhìn cái căn khá khủng. Tuy nhiên, một số điểm ta lại thấy rõ và đáng phải nghĩ là trong cái căn bậc 3 kia, có một đẳng thức: $(x-1)^2+8=x^2-2x+9$. Nhẩm nghiệm $x=y=1$ và 

$\sqrt[3]{8}=2$ (căn đẹp!). Phải liên kết và sử dụng chúng như thế nào?

Lời giải:
Cộng theo vế của 2 PT ta có:
$\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=x^2+y^2$
Ta đánh giá:
$\sqrt[3]{x^2-2x+9}=\sqrt[3]{(x-1)^2+8}\geq \sqrt[3]{8}=2$
$\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}\leq \frac{2xy}{2}=xy$
Cmtt ta có: $\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}\leq xy$
Mà $x^2+y^2\geq 2xy$
nên $\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}\leq x^2+y^2$
Dấu = xảy ra khi: $x=y=1$
Đó là nghiệm của HPT