Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

Bài toán:

Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình môn Toán năm 2014-2015 (2 vòng)

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(Vòng 1)

Bài $1$. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A=\left ( \dfrac{2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}+1}-\dfrac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right ):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}~~(x>0;~x\neq 4)$

$1.$ Rút gọn biểu thức $A$

$2.$ Tìm $x$ sao cho $A$ nhận giá trị là một số nguyên

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Bài toán:

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

$A=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-b^2-a^2}$

Bài toán:
Cho $a+b+c=0$ với $abc\neq 0$. Rút gọn: $$A=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-b^2-a^2}$$

Phép nhóm Abel chứng minh BĐT

Trong những kì thi vào chuyên toán, những kì thi HSG thì bất đẳng thức là 1 phần rất khó và được rất nhiều thầy cô giáo cũng như học sinh quan tâm đến. Những năm gần đây thì các kì thi đều có xu hướng không ra những bài BĐT đối xứng nữa, mà thay vào đó là những BĐT với rất nhiều điều kiện cũng như thứ tự giữa các biến. Hôm nay mình xin phép được trình bày về 1 phương pháp giải các dạng BĐT này, đó là phép nhóm Abel 

    1.     PHÉP NHÓM ABEL

Cho 2 dãy số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Kí hiệu $S_{k}=b_{1}+b_{2}+...+b_{k}$. Khi đó ta có đẳng thức:

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}=(a_{1}-a_{2})S_{1}+(a_{2}-a_{3})S_{2}+...$
$+(a_{n-1}-a_{n})S_{n-1}+a_{n}S_{n}$

$\dfrac{a}{(3b+5c)^3}+\dfrac{b}{(3c+5a)^3}+\dfrac{c}{(3a+5b)^3}\geq \dfrac{9}{512}$

Bài toán:Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$$\dfrac{a}{(3b+5c)^3}+\dfrac{b}{(3c+5a)^3}+\dfrac{c}{(3a+5b)^3}\geq \dfrac{9}{512}$$

$4\sqrt{x+2} + \sqrt{22-3x}= x^{2} + 8$

Bài toán:
Giải phương trình $$4\sqrt{x+2} + \sqrt{22-3x}= x^{2} + 8$$

$\large \left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y & & \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x & & \end{matrix}\right.$

Bài toán:
Giải hệ pt:
$\large \left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y  &  & \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x  &  &  \end{matrix}\right.$

$A=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài toán:Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a\leq b\leq 3\leq c$ ; $c\geq b+1$ ;$a+b\geq c$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$A=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$

Bài toán:
Với $a,b,c,d$ là các số dương thoả mãn:
$$abc+bcd+cda+dab=1$$
Tìm Min của biểu thức:
$$A=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$$

$\dfrac{x(x^2-56)}{4-7x}-\dfrac{21x+22}{x^3+2}=4$

Bài toán:Giải pt:
$$\dfrac{x(x^2-56)}{4-7x}-\dfrac{21x+22}{x^3+2}=4$$
<Trích đề TS vào lớp 10 trường ĐHSP HN môn Toán chung năm 2014-2015>

$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-9x+9}=2x$

Bài toán:
Giải pt:
$$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-9x+9}=2x$$

Định luật Murphy

Định luật Murphy hay còn gọi là định luật bánh bơ là một cách ngôn hoặc trào phúng được phát biểu: "Nếu một việc có thể diễn tiến xấu, nó sẽ diễn tiến đúng như thế" 
Ví dụ:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$

Bài toán:

Cho $x;y>0$ thoả: $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$. Tìm Min $P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$

$(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)$

Bài toán:
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thoả mãn đẳng thức: $(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)$