Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 1. (4 điểm)

1. Cho hàm số $y=\dfrac{mx^3}{3}+(m-1)x^2+(4-3m)x+9$ có đồ thị là $(C_m)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để trên $(C_m)$ có duy nhất một điểm với hoành độ âm sao cho tiếp tuyến của $(C_m)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $(d): x+2y=0$.

2. Cho hàm số $y=\dfrac{x^4}{8}-(2k-1)x^2+k+3$ có đồ thị là $(C_k)$, $k$ là tham số. Tìm $k$ để $(C_k)$ có ba điểm cực trị phân biệt và ba điểm này cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

Câu 2. (2 điểm)

Giải phương trình

$$\dfrac{4\cos x\cos ^2 \left (x+\dfrac{\pi}{2} \right)-\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right )}{2\cos 2x-1}=0.$$

Câu 3. (2 điểm)
Lớp $12A$ có $7$ học sinh giỏi gồm $5$ nam và $2$ nữ, lớp $12B$ có $10$ học sinh giỏi gồm $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp $2$ học sinh giỏi dự đại hội thi đua. Tính xác suất để trong $4$ học sinh được chọn có $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ.

Câu 4. (2 điểm)
Tính đạo hàm của hàm số sau tại $x=0$

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{e^{\cos 2016x-\cos 2017x}-1}{x}~ \text{khi $x\ne 0$}  &  & \\ 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{khi $x= 0$}  &  &  \end{matrix}\right.$$

Câu 5. (2 điểm)

Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với đỉnh $C(4;3)$. Biết trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ là $(d_1): x+2y-5=0$ và đường cao kẻ từ đỉnh $B$ là $(d_2): 4x+13y-10=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB$.

Câu 6. (3 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB=a>0,AD=b>0$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$.

1. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

2. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x(0<x<2a)$. Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Câu 7. (3 điểm)

Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0  &  & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a  &  &  \end{matrix}\right.$$

Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$

---Hết---

Thảo luận tại đây

$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$

Bài toán: Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$

$\begin{cases} x^3-3x=y \\ y^3-3y=z \\ z^3-3z=x \\ \end{cases}$

Bài toán:
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3-3x=y~(1) \\ y^3-3y=z~(2) \\ z^3-3z=x~(3) \\ \end{cases}$

$\dfrac{ln a}{a-1}\le \dfrac{1+\sqrt[3]{a}}{a+\sqrt[3]{a}}$

Bài toán:
Cho $1\ne a>0$. Cmr
$$\dfrac{\ln a}{a-1}\le \dfrac{1+\sqrt[3]{a}}{a+\sqrt[3]{a}}$$

Lập pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết $R=(\sqrt{3}+1)r$

Bài toán:Trong Oxy, tam giác ABC vuông tại $A(1;1), BC: x-y+1=0.$
Lập pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết $R=(\sqrt{3}+1)r$ và $\sin 75^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{SA}{SA'}.S_{BCD}+\dfrac{SC}{SC'}.S_{ABD}=\dfrac{SB}{SB'}.S_{ACD}+\dfrac{SD}{SD'}.S_{ABC}$

Bài toán:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA,SB,SC, SD$ lần lượt tại $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{SA}{SA'}.S_{BCD}+\dfrac{SC}{SC'}.S_{ABD}=\dfrac{SB}{SB'}.S_{ACD}+\dfrac{SD}{SD'}.S_{ABC}$$ .

Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.

Bài toán:

Trong mp Oxy cho $B(-3;0);C(3;0)$. Điểm $A$ di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ tới $BC$ bằng $3$ lần bán kính đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.

$\dfrac{9}{10}\le \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}< 1$

[Bulgaria 2004] Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Cmr:
$$\dfrac{9}{10}\le \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}<1$$ .

$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3$

Bài toán:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:
$$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3~~(*)$$

(Đề thi cuối học kì 1 khối 10 năm 2015-2016 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình)

$\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}$

Bài toán:
Cho $x,y,z$ thực không âm thỏa mãn $xy+yz+zx=1$
Chứng minh rằng : 
$$\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}.$$

$P=\dfrac{9\sqrt[3]{(ab)^2}}{a^2+3b^2+c^2+1}+\dfrac{16b\sqrt{c}}{2a^2+4b^2+c^2+1}-\dfrac{6a+6b-8}{18ab-9a-9b+4}.$

Bài toán:
Cho Các số thực $a,b,c\in \left (\dfrac{2}{3};1\right]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\dfrac{9\sqrt[3]{(ab)^2}}{a^2+3b^2+c^2+1}+\dfrac{16b\sqrt{c}}{2a^2+4b^2+c^2+1}-\dfrac{6a+6b-8}{18ab-9a-9b+4}.$$

(Trịnh Đình Triển, 10A6 THPT Đông Thụy Anh, Thái Bình)