Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

Bài toán:

Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình môn Toán năm 2014-2015 (2 vòng)

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(Vòng 1)

Bài $1$. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A=\left ( \dfrac{2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}+1}-\dfrac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right ):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}~~(x>0;~x\neq 4)$

$1.$ Rút gọn biểu thức $A$

$2.$ Tìm $x$ sao cho $A$ nhận giá trị là một số nguyên

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Bài toán:

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$