Chứng minh định lý Ce-va và Menelaus

$I-$ Định lý $Ce-va$:

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $D;E;F$ thuộc đường thẳng $BC;CA;AB$ 

Cmr: $AD;BE;CF$ đồng quy $\Leftrightarrow \dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

$\sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{4b+4c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{4c+4a+b}}\leq 1$

Bài toán: 

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : $\sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{4b+4c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{4c+4a+b}}\leq 1$

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Phương trình chứa căn thức khá đa dạng và cũng phong phú về cách giải. Bài viết này trình bày về phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình chứa căn thức có dạng đặc biệt là:

$\alpha x+\beta =F(\sqrt{1-x},\sqrt{1+x}) (*)$

Chúng ta chủ yếu sẽ xét các phương trình dạng:

$\alpha x+\beta =a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}+c\sqrt{1-x^2}(**)$

Trước hết ta thấy các phương trình trên có tập xác định là $[-1;1]$.

I. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.

1. Đặt một ẩn phụ:
Nếu các hệ số trong $(**)$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix}ab=\frac{c}{2} & & \\ a^2-b^2=\alpha & & \end{matrix}\right.(***)$

thì ta có thể đặt $t=a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}$
Khi đó: $t^2=(a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x})^2$

$=2ab\sqrt{1-x^2}-(a^2-b^2)x+(a+b)$

$=c\sqrt{1-x^2}-\alpha x+(a+b)$
Từ đó được phương trình ẩn $t$.

Ví dụ 1: