CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT
Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^2+dx+e & & \\ ax+b=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^2+dx-\alpha y=\beta -e (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-ax=b-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$
Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.
Thí dụ 1: Giải pt:
$\sqrt{x+1}=x^2+4x+5$
Phân tích:
Đặt $\sqrt{x+1}=\alpha y+\beta$ ($\alpha \neq 0$)
Đặt $\sqrt{x+1}=\alpha y+\beta$ ($\alpha \neq 0$)
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^2+4x+5 & & \\ x+1=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+4x-\alpha y=\beta -5 (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$ $(*)$
Chọn $\alpha ^2=1$. Khi đó:
$(2)\Leftrightarrow y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (3)$
Trừ theo vế của $(1)$ cho (3) ta được:
$(x^2-y^2)+5x-(\alpha +2\alpha \beta )y=\beta ^2+\beta -6$
Chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}\alpha +2\alpha \beta =\pm 5 & & \\ \beta ^2+\beta -6=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$
Chúng ta có thể hiểu và làm gọn hơn như sau:
$(*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^2=1 & & \\ 2\alpha \beta =4 & & \\ \alpha =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$ (Hệ số của $x^2$ giống hệ số của $y^2$; hệ số của $x$ giống hệ số của $y$)
Lời giải: ĐK: $x\geq 1$
Đặt $\sqrt{x+1}=y+2$ ($y\geq -2$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-y=-3 (1) & & \\ y^2+4y-x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-y=-3 (1) & & \\ y^2+4y-x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$
Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được: $(y-x)(y+5+x)=0$
$\Rightarrow \begin{bmatrix}y=x & & \\ y=-5-x & & \end{bmatrix}$
Thay ngược trở lại $(1)$ hoặc $(2)$ để tìm nghiệm.
Thí dụ 2: Giải pt:
$\sqrt{3x+1}+4x^2-13x+5=0$
Lời giải: ĐK: $x\geq -\frac{1}{3}$
Làm tương tự Thí dụ 1 tìm được $\left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =-2 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{3x+1}=2y-2$ ($y\geq 1$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4x^2-13x+2y=-3 (1) & & \\ 4y^2-8y-3x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$
Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ rồi làm tương tự thí dụ 1.
Bài toán 2: Giải pt:
$\sqrt[3]{ax+b}=cx^3+dx^2+ex+f$ ($II$) với $ac\neq 0$
$\sqrt[3]{ax+b}=cx^3+dx^2+ex+f$ ($II$) với $ac\neq 0$
Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=\alpha y+\beta$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^3+dx^2+ex+f & & \\ ax+b=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3a\beta ^2y-ax=b-\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^3+dx2+ex-\alpha y=\beta -f (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-ax=b-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$
Tương tự bài toán 1, ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.
Thí dụ 3: $\sqrt[3]{x+1}=x^3-15x^2+75x-131$
Phân tích: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=\alpha y+\beta$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^3-15x^2+75x-131 & & \\ x+1=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y+\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-\alpha y=\beta +131 (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-x=1-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$ $(**)$
Trừ theo vế của $(3)$ và $(4)$ ta được:
$x^3-\alpha ^3y^3-(15x^2+3\alpha ^2\beta y^2)+76x-(\alpha +3\alpha \beta ^2)y=\beta ^3+\beta +130$
$x^3-\alpha ^3y^3-(15x^2+3\alpha ^2\beta y^2)+76x-(\alpha +3\alpha \beta ^2)y=\beta ^3+\beta +130$
Ta chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}\alpha ^3=\pm 1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \alpha +3\alpha \beta ^2=\pm 76 \\ \beta ^3+\beta +130=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =-5 & & \end{matrix}\right.$
Dễ hiểu hơn:
$(**)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^3=1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \end{matrix}\right.$ (Hệ số giống nhau, có lẽ chỉ cần hệ 2 pt này là đủ)
Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=y-5$
$(**)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^3=1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \end{matrix}\right.$ (Hệ số giống nhau, có lẽ chỉ cần hệ 2 pt này là đủ)
Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=y-5$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-y=126 & & \\ y^3-15y^2+75y-x=126 & & \end{matrix}\right.$
Giải tương tự bài toán 1.
Có lẽ không cần đến Thí dụ 4, nhỉ?
Nhận xét:
Dạng pt này là khó, chúng ta đã bắt gặp đâu đó và cách giải của nó với điều kiện của pt rất phức tạp! Dường như người ta đã cố ý áp đặt n hư vậy để giải được. Lẽ dĩ nhiên nếu không chọn được $\alpha ;\beta$ thì pt cũng không thể giải được như trên. Với cách làm này mình hi vọng các bạn THCS sẽ dễ hiểu hơn. Cuối cùng xin mời các bạn luyện tập qua việc tự giải các pt sau:
Dạng pt này là khó, chúng ta đã bắt gặp đâu đó và cách giải của nó với điều kiện của pt rất phức tạp! Dường như người ta đã cố ý áp đặt n hư vậy để giải được. Lẽ dĩ nhiên nếu không chọn được $\alpha ;\beta$ thì pt cũng không thể giải được như trên. Với cách làm này mình hi vọng các bạn THCS sẽ dễ hiểu hơn. Cuối cùng xin mời các bạn luyện tập qua việc tự giải các pt sau:
1) $2\sqrt{2x-1}=x^2-2x$
2) $\sqrt{3x-2}+4x^2-21x+22=0$
3) $2x^3=1+\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}$
4) $\sqrt[3]{3x^3-5}=8x^3-36x^2+53x-25$
5) $x^3+3x^2-3\sqrt[3]{3x+5}=1-3x$
Cái dạng đầu mình bình phương lên ra pt bậc 4 dùng MTBT bấm nghiệm để nhóm ra 2 pt bậc 2 rồi giải, cổ lổ sĩ nhưng mà tính toán nhẹ hơn cách này. Hihi ý kiến cá nhân
Trả lờiXóaKhông phải bài nào cũng ra được 2 pt bậc 2 đâu!
XóaDạng 1: Đặt căn =t+ac/2
Trả lờiXóaDạng 2: Đặt căn= 3cy+d
ei,mình nghĩ là nên cho an-pha thay =x,be-tan thay=y cho nó dể nhìn
Trả lờiXóa