$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3$

Bài toán:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:
$$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3~~(*)$$

(Đề thi cuối học kì 1 khối 10 năm 2015-2016 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình)

$\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}$

Bài toán:
Cho $x,y,z$ thực không âm thỏa mãn $xy+yz+zx=1$
Chứng minh rằng : 
$$\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}.$$

$P=\dfrac{9\sqrt[3]{(ab)^2}}{a^2+3b^2+c^2+1}+\dfrac{16b\sqrt{c}}{2a^2+4b^2+c^2+1}-\dfrac{6a+6b-8}{18ab-9a-9b+4}.$

Bài toán:
Cho Các số thực $a,b,c\in \left (\dfrac{2}{3};1\right]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\dfrac{9\sqrt[3]{(ab)^2}}{a^2+3b^2+c^2+1}+\dfrac{16b\sqrt{c}}{2a^2+4b^2+c^2+1}-\dfrac{6a+6b-8}{18ab-9a-9b+4}.$$

(Trịnh Đình Triển, 10A6 THPT Đông Thụy Anh, Thái Bình)