$\dfrac{SA}{SA'}.S_{BCD}+\dfrac{SC}{SC'}.S_{ABD}=\dfrac{SB}{SB'}.S_{ACD}+\dfrac{SD}{SD'}.S_{ABC}$

Bài toán:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA,SB,SC, SD$ lần lượt tại $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{SA}{SA'}.S_{BCD}+\dfrac{SC}{SC'}.S_{ABD}=\dfrac{SB}{SB'}.S_{ACD}+\dfrac{SD}{SD'}.S_{ABC}$$ .

Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.

Bài toán:

Trong mp Oxy cho $B(-3;0);C(3;0)$. Điểm $A$ di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ tới $BC$ bằng $3$ lần bán kính đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.

$\dfrac{9}{10}\le \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}< 1$

[Bulgaria 2004] Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Cmr:
$$\dfrac{9}{10}\le \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}<1$$ .

$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3$

Bài toán:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:
$$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3~~(*)$$

(Đề thi cuối học kì 1 khối 10 năm 2015-2016 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình)