ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2015-2016

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 

THÁI BÌNH

Môn: TOÁN

Câu 1. (3,0 điểm)  Cho $x=\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}}}$.

Tính giá trị biểu thức

$$A=\dfrac{x^4-3x^3-2x^2+x+3}{x^3-2x^2-5x+3}$$ .

Câu 2. (3,0 điểm) 

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y=ax+b (a\neq 0)$. Tìm $a$ và $b$ biết $(d)$ đi qua điểm $M(1;2)$ và cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ phân biệt sao cho $P=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

$$x^3-9x^2+6x-6-3\sqrt[3]{6x^2+2}=0$$ .

2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}\left ( 1+\dfrac{3}{x+3y} \right )=2  &  & \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\dfrac{3}{x+3y} \right )=4\sqrt{2}  &  &  \end{matrix}\right.$$ .

Câu 4. (2,0 điểm) 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$ .

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp là $r$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Biết rằng $\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}+\dfrac{1}{CP}=\dfrac{1}{r}$.

Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn $(S)$ tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $H$ thuộc đoạn $AO$ ($H$ không trùng với $A$ và $O$). Kẻ $HC$ vuông góc với $AB$ ($C$ nằm trên nửa đường tròn $(S)$). Tiếp tuyến với nửa đường tròn $(S)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $M$,$BM$ cắt $CH$ tại $I$. Đường thẳng qua $I$ song song với $MC$ cắt cung tròn tại điểm $E$. Chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$ bán kính $CE$.

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên tố $x,y,z,t$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=3t+1  &  & \\ y=2t^2+3  &  & \\ z=t^3+2 \end{matrix}\right.$$ .

---HẾT---

Thảo luận tại: http://diendantoanhoc.net/forum/topic/151073-%C4%91%E1%BB%81-thi-ch%E1%BB%8Dn-h%E1%BB%8Dc-sinh-gi%E1%BB%8Fi-l%E1%BB%9Bp-9-t%E1%BB%89nh-th%C3%A1i-b%C3%ACnh-n%C4%83m-2015-2016/#entry604072