$P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Bài toán: 
Cho ba số dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$



Lời giải:

Ta sẽ chứng minh:

$2a+\dfrac{1}{a}\ge \dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{5}{2}$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(a-2)\le 0$

Luôn đúng vì với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$ nên $a^2\le 3<4$ hay $0<a<2$

Tương tự cộng lại:

$P\ge \dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{15}{2}=9$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$