$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $k\in \left [ 0;\dfrac{3}{4} \right ]$

Cmr:

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

(Đề thi KS lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)

Phương pháp điều chỉnh số mũ trong chứng minh bất đẳng thức

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bằng phương pháp điều chỉnh số mũ

Nguyễn Văn Nho - GV THPT Nguyễn Duy Trinh, Nghi Lộc, Nghệ An

 

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Tác giả: nthoangcute

Phần 1: http://truongviethoang99.blogspot.com/2014/08/phuong-phap-uct-giai-he-phuong-trinh.html#more

$\bigstar$ Ví dụ 1:

$\left\{\begin{matrix}x^3+y^2=(x-y)(xy-1)~ (1)  &  & \\ x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1)~ (2)  &  &  \end{matrix}\right.$

Đánh giá:- Bậc của $x$ cao hơn bậc của $y$
- Các biến $x,y$ không độc lập với nhau
- Bậc cao nhất của $x$ và $y$ ở hai phương trình là như nhau.
Vì bậc $x$ cao hơn nên ta viết lại 2 pt theo ẩn $y$ (Để dễ tính toán)
$\left\{\begin{matrix}y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  &  & \\ y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Chúng ta nghĩ tới việc phân tích 1 trong 2 pt trên thành nhân tử, nhưng rất tiếc $\Delta $ của nó không chính phương.

Ta sẽ tìm $x$ để 2 pt trên là tương đương, tức là $PT(1)$ gấp $k$ lần $PT(2)$
$\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x^2+x-1}=\dfrac{x^3+x}{x^3-x^2+1}=k$
$\Leftrightarrow x=1$ và $k=2$

Tức là $2.PT(2)-PT(1)=0$
Từ đó ta có lời giải bài toán.