SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. (6,0 điểm)
1. Tính giới hạn:
$$I=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{2015^x-\sqrt{1+2014x}}{ln(1+2016x)}$$.
2. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+3mx+1$ ($m$ là tham số)
Tìm $m$ để đồ thị hàm số có cực trị thỏa mãn khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung và đến đường thẳng $(d):y=1$ là bằng nhau.
Câu II. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2-1}+y & & \\ 3x^2-4y^2+xy-x+4y=0 & & \end{matrix}\right. (x,y\in R).$$
Câu III. (2,0 điểm)
Giải phương trình: $$\dfrac{\cot^2 x+\cot x}{\cot^2 x+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4} \right )$$.
Câu IV. (2,0 điểm)Từ các số $0,1,2,3,4$ lập các số chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để lấy được số lớn hơn $2015$.
Câu V. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hình thang vuông $ABCD$ (vuông tại $A$ và $D$) có $B(0;1),CD=3AB$. Hai điểm $M(1;-1),N(-1;2)$ lần lượt nằm trên hai đường thẳng $AD$ và $DC$. Biết diện tích hình thang $ABCD$ bằng $2$. Viết phương trình đường thẳng $AD$ biết $AD$ không song song với trục tung.
Câu VI. (3,0 điểm)
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $C$, với $BC=a,BB'=2a,AB'=3a$. Gọi $M$ là trung điểm $A'B',I$ là giao điểm của $BM$ và $AB'$. Tính thể tích tứ diện $IABC$ và khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(IAC)$ theo $a$.
Câu VII. (2,0 điểm)
Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{2ac}{(a+c)^2}\ge 2$$.
---HẾT---
