ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
Môn: TOÁN
Câu 1. (3,0 điểm) Cho x=\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}}}.
Tính giá trị biểu thức
A=\dfrac{x^4-3x^3-2x^2+x+3}{x^3-2x^2-5x+3}.
Câu 2. (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y=ax+b (a\neq 0). Tìm a và b biết (d) đi qua điểm M(1;2) và cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A,B phân biệt sao cho P=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2} đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình:
x^3-9x^2+6x-6-3\sqrt[3]{6x^2+2}=0.
2. Giải hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}\left ( 1+\dfrac{3}{x+3y} \right )=2 & & \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\dfrac{3}{x+3y} \right )=4\sqrt{2} & & \end{matrix}\right..
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z).
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB. Biết rằng \dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}+\dfrac{1}{CP}=\dfrac{1}{r}.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (S) tâm O đường kính AB. Điểm H thuộc đoạn AO (H không trùng với A và O). Kẻ HC vuông góc với AB (C nằm trên nửa đường tròn (S)). Tiếp tuyến với nửa đường tròn (S) tại A và C cắt nhau ở M,BM cắt CH tại I. Đường thẳng qua I song song với MC cắt cung tròn tại điểm E. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C bán kính CE.
Câu 7. (2,0 điểm)
Tìm các số nguyên tố x,y,z,t thỏa mãn hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix}x=3t+1 & & \\ y=2t^2+3 & & \\ z=t^3+2 \end{matrix}\right..