Thủ thuật CASIO Phần 2

(Sao chép xin ghi rõ nguồn: diendantoanhoc.net hoặc tác giả "Bùi Thế Việt")

CÁC THỦ THUẬT CASIO

(Tác giả : Bùi Thế Việt, 11 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

Thủ thuật 4: Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm: (Post lại bài mình đã post)

Thêm một phương pháp "tủ" của mình, đó là cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm ! (Ai không hiểu gì cứ pmmmm nha, nhưng cũng hơi đau đầu đấy)
_________________________
Xét PT $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ với $d>0$ và $a,b,c$ là các hệ số.
Khi bạn giải mãi cái này mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: $x^4-6x^3+16x^2-22x+16=0$

Cách 1: Cách ăn may: đó chính là $f(x)$ phân tích thành 2 cái bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm,
giống như $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$

Khi đó $f(x)=(x^2-2x+3)(x^2-4x+5)+1>0$

[?] Vậy tại sao lại có thể phân tích thành cái này, đó là câu hỏi khó ?

Cách làm ở đây là đặt $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)+e$
Suy ra $f(x)=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(bc+ad)x+bd+e$
Đồng nhất với đa thức ban đầu là $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$
Ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
a+c=-4\\
d+ac+b=16\\
bc+ad=-22\\
bd+e=16
\end{matrix}\right.$$
Từ đó dễ dàng suy ra $a=-2, \;b=3, \;c=-4, \; d=5, \; e=1$ nhờ phương pháp mò (Vì đây là cách ăn may mà)

Cách 2: (Cách này ảo nhất, bây giờ tui mới phát hiện ra)

Cũng từ: $A=f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$

Ta sẽ chứng minh $f(x)>0$ bằng cách đặt $x=y-\frac{a}{4}$, để mất đi hệ số của $y^3$

Đặt $x=y+\frac{3}{2}$

Biểu thức đã cho trở thành:
$$A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}=y^4-2m y^2+m^2+(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$$

(Chỗ này khá ảo, nhưng hay)

Cần tìm $m > -\frac{5}{2}$ để PT $(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$ vô nghiệm (khi đó nó mới >0)

Thì $\Delta = <0$

Tìm bất kì số $m$ nào thỏa mãn BĐT kia và phải thỏa mãn $m> \frac{5}{2}$

Có nhiều $m$ thỏa mãn lắm, VD: $m=0$ hoặc $m=-1$ hoặc $m=1$ là đẹp mắt nhất

Chọn một cái và làm !

Giả sử:

a) $m=-1$ thì $A=(y^2+1)^2+\frac{3}{2}(y-\frac{1}{3})^2+\frac{175}{48}$
Suy ra $A= (x^2-3x+\frac{13}{4})^2+\frac{3}{2}(x-\frac{11}{6})^2+\frac{175}{48}>0$

b) $m=0$ thì $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2 +\frac{297}{80}$
Suy ra $A=(x-\frac{3}{2})^4+\frac{5}{2}(x-\frac{17}{10})^2 +\frac{297}{80}>0$

c) $m=1$ thì $A=(y^2-1)^2+\frac{7}{2}(y-\frac{1}{7})^2+\frac{419}{112}$
Suy ra $A=(x^2-3x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{2}(x-\frac{23}{14})^2+\frac{419}{112}$

_______________________

Nhận xét: Nhưng các bạn cũng không nên lợi dụng nó quá, giống như minhtuyb đã nhận xét:


"Mình cũng chia sẻ chút chỗ này :
Khi đã ra $A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ thì trước khi chọn hệ số $m$ thích hợp như trên nên kiểm tra xem tam thức bậc hai $\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ có vô nghiệm hay không:
+) Nếu vô nghiệm $(\Delta <0)$ thì ta phân tích thẳng luôn: $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2+\frac{297}{80}$, tức là chọn $m=0$ để đỡ mất công cho phần sau
+) Nếu có nghiệm thì lại phải lục cục đi tìm $m$ thôi "

________________________

Để không phải xét như thế, mình post một VD khác để có thể áp dụng hoàn toàn :

Ví Dụ 2: Giải phương trình $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
___________

Nhận xét: Trước khi bắt tay vào giải phương trình, các bạn phải kiểm chứng rằng phương trình có nghiệm hay không !!!
Mình khuyên các bạn nên dùng Máy Tính Bỏ túi Casio để giải phương trình, nếu nó báo Can't solve thì chắc là phương trình không có nghiệm

Hướng làm: (Cái này trong nháp)
Ta thấy $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0 \Leftrightarrow {x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}=0$
Đặt $A={x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}$
Giống như phương trình bậc 4 tổng quát có dạng $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ thì bạn đặt $x=y-\frac{a}{4}$ rồi rút gọn lại

Vậy đặt $x=y-\frac{-9}{4}$
Suy ra $$A=(y-\frac{-9}{4})^4-9(y-\frac{-9}{4})^3+26(y-\frac{-9}{4})^2+\frac{61}{4}(y-\frac{-9}{4})+\frac{119}{12}$$
$$={y}^{4}+9\,{y}^{3}+{\frac {243}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {729}{16}}\,y+{
\frac {6561}{256}} -9\,{y}^{3}-{\frac {243}{4}}\,{y}^{2}-{\frac {2187}{16}}\,y-{\frac {
6561}{64}}+26\,{y}^{2}+117\,y+{\frac {1053}{8}}+{\frac {61}{4}}\,y+{\frac {2123}{48}}$$
$$={y}^{4}-{\frac {35}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {76007}{
768}}$$

Bước tiếp theo là cộng hệ số thích hợp:
$$A={y}^{4}-{\frac {35}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {76007}{
768}}$$
$$=y^4-2my^2+m^2+ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}$$

Để $A>0$ thì ta sẽ tìm $m> \frac{35}{16}$ để phương trình $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}=0$ vô nghiệm

Hay $\Delta ={\frac {108241}{64}}-4\, \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) \left( -
{m}^{2}+{\frac {76007}{768}} \right) =8\,{m}^{3}-{\frac {35}{2}}\,{m}^{2}-{\frac {76007}{96}}\,m+{\frac {
5258029}{1536}} <0$

(Nếu bạn muốn tìm nhanh mà không mất công rút gọn biểu thức thì hãy nhập $\Delta$ vào máy tính Casio rồi ấn Calc.
Máy hỏi M? Ấn thử xem với $M$ bằng bao nhiêu thi kết quả là một số âm)

Có nhiều giá trị của $m$ thỏa mãn BĐT đấy, ta chọn lấy cái đẹp nhất nhưng mà thỏa mãn $m > \frac{35}{16}$

VD: Ta lấy $m$ bất kì chỉ cần thỏa mãn $\frac{51}{10} \leq m \leq \frac{39}{5}$ là BĐT kia đúng !!!

(Cách tìm $m$ nhanh mà không phải mò !... Vào mode EQN, ấn cách hệ số của PT bậc 3 vào lần lượt $a, \; b, \;c$ rồi máy sẽ tính được 3 nghiệm, rồi lập bảng xét dấu là xong)

Cho $m=6$ hay $m=7$ thì ta được:

Nếu $m=6$ thì $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}={\frac {61}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {48359}{768}}={\frac {61}{8}}\, \left( y+{\frac {329}{122}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}}$
Do đó $A=(y^2-6)^2+{\frac {61}{8}}\, \left( y+{\frac {329}{122}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}} = ({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}})^2+{\frac {61}{8}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}}>0$

Nếu $m=7$ thì $\left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}={\frac {77}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {38375}{768}}={\frac {77}{8}}\, \left( y+{\frac {47}{22}} \right) ^{2}+{\frac {51013
}{8448}}$
Do đó $A=(y^2-7)^2+{\frac {77}{8}}\, \left( y+{\frac {47}{22}} \right) ^{2}+{\frac {51013
}{8448}}=({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}})^2+{\frac {77}{8}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}
{8448}}>0$

Do đó có nhiều cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, nhưng lời giải thì rất ngắn gọn:

Lời giải 1: (cái làm làm luôn vào bài)
Ta có: $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}} \right) ^{2}+{\frac {183}{
2}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {352115}{3904}}=0$
Vô lý do VT > 0 với mọi $x$

Lời giải 2:
Ta có: $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}} \right) ^{2}+{\frac {231}{
2}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}{704}}=0$
Vô lý do VT > 0 với mọi $x$

__________________________________
Nhận xét: 2 lời giải trên thật ngắn gọn, nhưng lại phải có một "công trình" nghiên cứu như trên, nhưng còn với phương trình bậc 6, 8, ... thì lại phải làm một hướng khác !
Vì dụ ở dưới sẽ giúp bạn thành thạo hơn !!!

Thủ thuật 5: (Vật lý) Tổng hợp lực (Cái này mình thích lắm)

Nội dung: Áp dụng đặc điểm số phức
Cách làm:
Cho các vecto lực: $\overrightarrow{F_0},\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},...,\overrightarrow{F_n}$ biết góc tạo bởi $\overrightarrow{F_0}$ với các $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},...\overrightarrow{F_n}$ là $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$

Hợp lực của nó và góc tạo bởi vecto hợp lực với $\overrightarrow{F_0}$ được tính như sau:
Bước 1: Ấn Shift + MODE, ấn $\bigtriangledown $, chọn CMPLX, chọn $r\angle \theta $
Bước 2: Vào Mode, chọn CMPLX
Bước 3: Ấn như sau: $F_0\angle 0+F_1 \angle \alpha_1 +F_2 \angle \alpha_2 +...+F_n \angle \alpha_n$
Ấn $=$ là ta được kết quả !

Nhận xét: Mình nghĩ là thủ thuật 5 giúp rất nhiều trong những bài toán về lực, động lượng, điện tích, ...

Thủ thuật 6: Phân tích đa thức chứa căn thức thành nhân tử (Cái này thì hơi khó hiểu, làm nhiều sẽ quen)

Nội dung: Có khá nhiều cách và cũng khá nhiều trường hợp để sử dụng thủ thuật này, mình chỉ nêu vài thủ thuật chính, nhưng đảm bảo sẽ giúp ích cho các bạn rất rất nhiều

Cách 1: (Đối với đa thức chứa một căn thức bậc nhất, có dạng $f(x)=g(x)+h(x)\sqrt{ax+b}$
(VD: $f(x)=2x^2-3x+2-x\sqrt{3x-2}$)
Bước 1: Đặt $t=\sqrt{ax+b}$ (tức $t=$ cái căn thức)
($t=\sqrt{3x-2}$)
Bước 2: Viết đa thức theo $t$ (Do $t=\sqrt{ax+b}$ nên $x=\frac{t^2-b}{a}$)
($f(x)=2\, \left( \frac{1}{3}\,{t}^{2}+\frac{2}{3} \right) ^{2}-{t}^{2}- \left( \frac{1}{3}\,{t}^{2}+
\frac{2}{3} \right) t$)
Bước 3: Áp dụng thủ thuật 1 để phân tích thành nhân tử
($f(x)=\frac{1}{9} (t-1)(t-2)(2t^2+3t+4)$)
Bước 4: Thế $t=\sqrt{ax+b}$ vào nhân tử vừa tìm được
($f(x)=\frac{1}{3}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2
\right) \left( 2\,x+\sqrt {3\,x-2} \right) $)
Bước 5: Viết luôn kết quả và xem giải.

Nhận xét: Cách này khá ảo diệu, nhưng rất dễ lộ liễu phương pháp. Để tránh người khác khó hiểu hay tò mò về phương pháp này thì tốt hơn hãy làm như sau: (VD $f(x)=2x^2-3x+2-x\sqrt{3x-2}$)
Đặt $t=\sqrt{3x-2}$ ta được $t^2=3x-2$
Khi đó $f(x)=2x^2-xt-t^2=(2x+t)(x-t)$
Suy ra ...
(Thực ra nó chính là phương pháp hằng số biến thiên)

Cách 2: (Đối với đa thức chứa ít căn thức, thường là một hoặc hai hoặc ba căn thức, biểu thức trong căn là một đa thức bậc cao)

Nội dung: Khó nói nhưng dễ hiểu !!!

Phần 1: Nghiệm vô tỷ

Lưu ý: Chỉ nghiệm vô tỷ mới áp dụng đấy
Cách làm: VD như phương trình vô tỷ này: $x^2+1-(x+1)\sqrt{x^2-2x+3} =0$ (theo provotinhvip)
Bước 1: Viết vào CASIO, giải phương trình này, ta được các nghiệm $1 \pm \sqrt{2}$
Bước 2: Tính giá trị biểu thức trong căn: $\sqrt{x^2-2x+3}=2$
Bước 3: Suy ra 100% sẽ có nhân tử $(\sqrt{x^2-2x+3}-2)$
Bước 4: Do kiểu gì cũng có nhân tử $(\sqrt{x^2-2x+3}-2)$ nên đến đây là rất dễ rồi còn gì !!!
Bước 5: Đọ kết quả

VD2: $6\,{x}^{3}-18\,{x}^{2}+8\,x+4+ \left( 3\,{x}^{2}-6\,x-4 \right) \sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}=0$
Bước 1: Giải nghiệm, cũng được $x=1+\sqrt{2}$
Bước 2: Tính giá trị của căn: $ \sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}=2\sqrt{2}$
Bước 3: Vì đa thức hệ số hữu tỷ nên 100% nhân tử cũng hữu tỷ, suy ra $ \sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}=2\sqrt{2}=2x-2$
Bước 4: Suy ra 100% sẽ có nhân tử $\sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}-2x+2$
Bước 5: Trừ đa thức, làm tiếp ta được phương trình tương đương với:
$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+7}-2\,x+2 \right) \left( \left( \sqrt {{
x}^{2}-2\,x+7}+2\,x-2 \right) ^{2}+1 \right)
=0$$
Bước 6: OK?

Phần 2: Nghiệm hữu tỷ (Cực kì quan trọng, áp dụng cực nhiều)
Tham khảo: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/95250-phương-pháp-phân-tích-nhân-tử-trong-phương-trình-và-hệ-phương-trình/
 
Thủ thuật 7: Dùng CASIO để làm Bất Đẳng Thức nhiều biến đối xứng
Phần 1: Điều kiện với tổng
Thực ra đây chỉ là một phần nhỏ của phương pháp UCT, khá hay cho việc làm BĐT ...
Nội dung: Tham khảo bài viết của viet 1846 ở đây: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/90839-phương-phap-hệ-số-bất-dịnh-uct/
Để dễ hình dung, xét VD sau: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/96021-sum-frac12-ageq-3/
 
Ví Dụ: Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
 
Hướng làm: Tìm $k$ và $m$ để $$ \frac{1}{2-a} \geq ka^2+m$$
Nhìn vào bài toán là thấy điểm rơi $a=b=c=1$, do đó, đạo hàm hai vế rồi cho $a=1$ ta sẽ tìm được $k$
Tức là: $$k=\dfrac{\left .\dfrac{d}{dx}\left (\dfrac{1}{2-x}  \right )  \right |_{x=1}}{\left .\dfrac{d}{dx}\left (x^2 \right )  \right |_{x=1}}$$
Cứ gõ nguyên cái này vào CASIO fx570ES là thấy ngay...
Sau khi tìm được $k=\frac{1}{2}$, lại thấy điểm rơi $a=1$ và $ \frac{1}{2-a} = ka^2+m$ nên ta được $m=\frac{1}{2}$
Sau khi tìm được $k$ và $m$, ta phải chứng minh lại BĐT mình vừa nêu ra, tức là:
$$\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$$ với mọi $0<a<2$
Cái này có thể đúng, có thể sai
Nếu luôn đúng thì ngon rồi, chứng minh tương tự với $b,c$ ta được Q.E.D
Nếu chưa chắc đúng thì ta dùng tới $Jen-sen$, hoặc hàm lồi
 
Tóm lại, tổng quát luôn: Giả thiết: $g(a)+g(b)+g(c)=x$, cần tìm cực trị của $f(a)+f(b)+f(c)$
Điểm rơi của bài là $a=b=c=x_0$
Ta cần tìm $k$ và $m$ thỏa mãn: $f(a) \geq k g(a)+m$
Khi đó $$k=\dfrac{\left .\dfrac{d}{dx}f(x)  \right |_{x=x_0}}{\left .\dfrac{d}{dx}g(x)  \right |_{x=x_0}}$$
Còn $m=f(x_0)-kg(x_0)$. Sau đó chứng minh lại thôi
 
Phần 2: Với điều kiện dạng tích:
Giả thiết cho $abc=t$, tìm cực trị của $f(a)+f(b)+f( c )$
Kiểu gì thì chúng ta cũng đưa dạng $abc=t$ thành $xyz=1$
Tức là cho $xyz=1$, tìm cực trị của $f(x)+f(y)+f(z)$

Để ý rằng: $\ln x+\ln y+\ln z=\ln xyz=0$ nên ta chỉ cần tìm $k$ và $m$ sao cho BĐT sau luôn đúng:
$$f(x) \geq k \ln x+m$$
_____________
Tìm $k$ nhanh: $$k=\left (\left .\dfrac{d}{dx}f(x)  \right |_{x=x_0}  \right )x_0$$
Thế vào tìm được $m$
Sau đó chứng minh lại BĐT vừa tìm bằng phương pháp đạo hàm, từ đó ta có thể làm nhanh những bài dạng này
_______________________________________
Thủ thuật 8: Phương pháp phân tích thành nhân tử với 2 biến bằng CASIO
 
Lưu ý: Thủ thuật này chỉ áp dụng cho biểu thức 2 ẩn bậc không quá cao (giới hạn bậc 4) cho một ẩn ...
Ví dụ như: $x^3y^3+10x^2-20xy^3+1$ vẫn nằm trong phạm vi của phương pháp này ... Do đó ứng dụng thực tiễn của phương pháp này là khá lớn, thuận tiện cho việc giải Phương trình và Hệ phương trình.
Yêu cầu: Đọc qua Thủ Thuật 1 : CÁC THỦ THUẬT CASIO
Ý tưởng: Nhận xét sơ bộ một biểu thức cần phân tích, xem bậc cái nào cao nhất, cho nó bằng $1000$ rồi phân tích
_______________________________________

Ví Dụ 1: $A=x^2+xy-2y^2+3x+36y-130$
Bước làm: 
Bước 1: Nhìn thấy bậc của $x$ và $y$ đều bằng $2$ nên mình chọn cái nào cũng được
Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $A=x^2+1003x-1964130$
Bước 3: Phân tích nhân tử nó: $A=(x+1990)(x-987)$
Bước 4: Áp dụng thủ thuật 1, ta được: $1990=2y-10$ và $-987=-y+13$
Bước 5: Thế vào ta được $A=(x+2y-10)(x-y+13)$
Dễ không nào ???

Ví Dụ 2: $B=6x^2y-13xy^2+2y^3-18x^2+10xy-3y^2+87x-14y+15$
Bước 1: Bậc của $x$ nhỏ hơn
Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $B=5982\,{x}^{2}-12989913\,x+1996986015$
Bước 3: Phân tích nhân tử: $B=2991\, \left( 2\,x-333 \right)  \left( x-2005 \right) $
Bước 4: Có $2991=3y-9, 333=\frac{999}{3}=\frac{y-1}{3},2005=2y+5$
Bước 5: Ta được: $B=(3y-9)(2x-\frac{y-1}{3})(x-2y-5)=(y-3)(x-2y-5)(6x-y+1)$
OK?

Ví Dụ 3: $C={x}^{3}-3\,x{y}^{2}-2\,{y}^{3}-7\,{x}^{2}+10\,xy+17\,{y}^{2}+8\,x-40\,y+16$
Bước 1: Bậc như nhau
Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $C={x}^{3}-7\,{x}^{2}-2989992\,x-1983039984$
Bước 3: Phân tích: $C=(x-1999)(x+996)^2$
Bước 4: Thế $1999=2y-1$ và $996=y-4$
Bước 5: $C=(x-2y+1)(x+y-4)^2$

Ví Dụ 4: $D=2\,{x}^{2}{y}^{2}+{x}^{3}+2\,{y}^{3}+4\,{x}^{2}+xy+6\,{y}^{2}+3\,x+4\,y+12$
Bước 1: Bậc như nhau
Bước 2: Cho $y=1000$ ta được $D={x}^{3}+2000004\,{x}^{2}+1003\,x+2006004012$
Bước 3: Phân tích: $D=\left( x+2000004 \right)  \left( {x}^{2}+1003 \right) $
Bước 4: Thế $2000004=2y^2+4$ và $1003=y+3$
Bước 5: $D=(x^2+y+3)(2y^2+x+4)$
 
Ví Dụ 5: $E={x}^{3}y+2\,{x}^{2}{y}^{2}+6\,{x}^{3}+11\,{x}^{2}y-x{y}^{2}-6\,{x}^{2}-7\,xy-{y}^{2}-6\,x-5\,y+6$
Bước 1: Bậc của $y$ nhỏ hơn
Bước 2: Cho $x=1000$ ta được $E=1998999\,{y}^{2}+1010992995\,y+5993994006$
Bước 3: Phân tích: $E=2997\, \left( 667\,y+333333 \right)  \left( y+6 \right)$
Bước 4: "Ảo hóa" nhân tử: $E=999(2001y+999999)(y+6)$
Bước 5: Thế $999=x-1,2001=2x+1,999999=x^2-1$
Bước 6: $E=(x-1)((2x+1)y+x^2-1)(y+6)=(x-1)(y+6)(x^2+2xy+y-1)$
 
Ví Dụ 6: $F=6\,{x}^{4}y+12\,{x}^{3}{y}^{2}+5\,{x}^{3}y-5\,{x}^{2}{y}^{2}+6\,x{y}^{3}+{x}^{3}+7\,{x}^{2}y+4\,x{y}^{2}-3\,{y}^{3}-2\,{x}^{2}-8\,xy+3\,{y}^{2}-2\,x+3\,y-3$
Bước 1: Bậc $y$ nhỏ hơn
Bước 2: Cho $x=1000$ ta được: $$F=5997\,{y}^{3}+11995004003\,{y}^{2}+6005006992003\,y+997997997$$
Bước 3: Phân tích $F= \left( 1999\,y+1001001 \right)  \left( 3\,{y}^{2}+5999000\,y+997 \right) $
Bước 4: Thế $1999=2x-1;1001001=x^2+x+1;5999000=6x^2-x,997=x-3$
Bước 5: Ta được $$F=((2x-1) y+x^2+x+1)(3y^2+(6x^2-x)y+x-3)\\=\left( {x}^{2}+2\,xy+x-y+1 \right)  \left( 6\,{x}^{2}y-xy+3\,{y}^{2}+x-3 \right)$$

Thảo luận thêm tại đây: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/86459-th%E1%BB%A7-thu%E1%BA%ADt-gi%E1%BA%A3i-to%C3%A1n-b%E1%BA%B1ng-casio/